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上不完全 Gamma 函数的简单介绍

上不完全 Gamma 函数指的是如下函数

(我还没有检查过≡[。。]≡)

Γ(a,z)=∫z∞ta−1e−tdtddzΓ(a,z)=−za−1e−z\begin{aligned} \Gamma(a,z)&=\int_{z}^\infty t^{a-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\Gamma(a,z)&=-z^{a-1}\mathrm{e}^{-z} \end{aligned}

注意到这里 zz 已经成为了积分的一个下限，也就是对 zz 所作的操作都不会进入到积分中，从而拓展了操作空间.

由此可以得到几个积分的例子:

∫2−x2dx=∫e−(xlog⁡2)2dx=∫e−z2dzlog⁡2(set x=zlog⁡2)=∫12log⁡2⋅zlog⁡2e−z2dz=−12log⁡2∫−z12−1e−z2dz=−Γ(12,x2log⁡2)2log⁡2\begin{aligned} \int2^{-x^2}\mathrm{d}x&=\int \mathrm{e}^{-(x\sqrt{\log2})^2}\mathrm{d}x\\ &=\int \mathrm{e}^{-z^2}\mathrm{d}\sqrt{\frac{z}{\log2}}&\text{(set $x=\sqrt{\frac{z}{\log2}}$)}\\ &=\int \frac{1}{2\log2\cdot\sqrt{\frac{z}{\log2}}} \mathrm{e}^{-z^2}\mathrm{d}z\\ &=-\frac{1}{2\sqrt{\log2}}\int -z^{\frac{1}{2}-1}\mathrm{e}^{-z^2}\mathrm{d}z\\ &=-\frac{\Gamma \left( \frac{1}{2},x^2\log2 \right) }{2\sqrt{\log2}} \end{aligned}

常见的菲涅尔积分函数 FresnelS(z)=S(z)\mathrm{FresnelS}(z)=\mathrm{S}(z) 等，指数化后也可以约化为上不完全 Γ\Gamma 函数.

S(z)=∫0zsin⁡(πt22)dt\begin{aligned} \mathrm{S}(z)&=\int_{0}^z\sin\left( \frac{\pi t^2}{2} \right)\mathrm{d}t\\ \end{aligned}

设 πt22=s2\frac{\pi t^2}{2}=s^2,

∫02πzsin⁡s2⋅2πdt=2π∫02πzeis2−e−is22ids=−22iπ(∫02πzeis2ds−∫02πe−is2ds)\begin{aligned} \int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\pi}}z} \sin s^2\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{d}t&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\pi}}z}\frac{\mathrm{e}^{ \mathrm{i}s^2 }-\mathrm{e}^{ -\mathrm{i}s^2 }}{2\mathrm{i}}\mathrm{d}s\\ &=-\frac{2\sqrt{2}\mathrm{i}}{\sqrt{\pi}}\left( \int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\pi}}z}\mathrm{e}^{ \mathrm{i}s^2 }\mathrm{d}s-\int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\pi}}}\mathrm{e}^{ -\mathrm{i}s^2 }\mathrm{d}s \right) \end{aligned}

如果令 ω±=22±22i\omega^{\pm}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i} 为单位根, (ωs)2=r(\omega s)^2=r 那么这里有

∫eis2ds=∫e−(ω−s)2ds=∫e−rdrω−=∫12ω−rω−e−rdr=12ω−∫r12−1e−rdr=12ω−Γ(12,r)\begin{aligned} \int \mathrm{e}^{\mathrm{i}s^2}\mathrm{d}s&=\int \mathrm{e}^{-(\omega^- s)^2}\mathrm{d}s\\ &=\int \mathrm{e}^{ -r}\mathrm{d}\sqrt{\frac{r}{\omega^-}}\\ &=\int \frac{1}{2\omega^-\sqrt{\frac{r}{\omega^-}}}\mathrm{e}^{ -r }\mathrm{d}r\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\omega^-}}\int r^{\frac{1}{2}-1}\mathrm{e}^{-r}\mathrm{d}r\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\omega^-}}\Gamma\left( \frac{1}{2},r \right) \end{aligned}

对于负指数积分处理是类似的

∫e−is2=12ω+Γ(12,r)\begin{aligned} \int \mathrm{e}^{ -\mathrm{i}s^2 }=\frac{1}{2\sqrt{\omega^+}}\Gamma\left( \frac{1}{2},r \right) \end{aligned}

依次记上面两个积分结果为 I+I^+, I−I^-, 有 I+(0)=π2ω−I^+(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\omega^-}}, I+(0)=π2ω+I^+(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\omega^+}}. 也即

  −22iπ(∫02πzeis2ds−∫02πe−is2ds)=−22iπ(I+(2πz)−I−(2πz)−π2ω−+π2ω+)=−22iπ(12ω−Γ(12,2πz)−12ω+Γ(12,2πz)−π2ω−+π2ω+)=22iπ(12ω+−12ω−)Γ(12,2πz)+2i(1ω−−1ω+)=22iπ⋅(−i2)Γ(12,2πz)+2i⋅2i=2πΓ(12,2πz)−2\begin{aligned} &\quad\,\,-\frac{2\sqrt{2}\mathrm{i}}{\sqrt{\pi}}\left( \int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\pi}}z}\mathrm{e}^{ \mathrm{i}s^2 }\mathrm{d}s-\int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{\pi}}}\mathrm{e}^{ -\mathrm{i}s^2 }\mathrm{d}s \right) \\ &=-\frac{2\sqrt{2}\mathrm{i}}{\sqrt{\pi}}\left( I^+\left( \sqrt{\frac{2}{\pi}}z \right)-I^-\left( \sqrt{\frac{2}{\pi}}z \right)-\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\omega^-}}+\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\omega^+}} \right) \\ &=-\frac{2\sqrt{2}\mathrm{i}}{\sqrt{\pi}}\left( \frac{1}{2\sqrt{\omega^-}}\Gamma\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{\pi} z\right)- \frac{1}{2\sqrt{\omega^+}}\Gamma\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{\pi} z\right) -\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\omega^-}}+\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\omega^+}}\right)\\ &=\frac{2\sqrt{2}\mathrm{i}}{\sqrt{\pi}}\left( \frac{1}{2\sqrt{\omega^+}} -\frac{1}{2\sqrt{\omega^-}}\right)\Gamma\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{\pi} z\right)+\sqrt{2}\mathrm{i}\left( \frac{1}{\sqrt{\omega^-}} -\frac{1}{\sqrt{\omega^+}}\right)\\ &=\frac{2\sqrt{2}\mathrm{i}}{\sqrt{\pi}}\cdot\left( -\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \right)\Gamma\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{\pi}z \right)+\sqrt{2}\mathrm{i}\cdot \sqrt{2}\mathrm{i}\\ &=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{\pi} z\right)-2 \end{aligned}

也即 FresnelS\mathrm{FresnelS} 函数的 Γ\Gamma 约化形式.