asin x acos x atan x 的积分处理思路

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积分∫arcsinx arccosx arctanx dx的处理思路

计算这个积分还是挺烧脑的...第一次算这么复杂的积分

过程有些多有些杂，也许不能保证完全正确，但是结构和处理方法应该是没有问题...

如果有误请指出

1. 代换处理，干掉几个反三角

知道 ，不妨用代换 , 可以直接得到 ，

你说为什么不用别的三角函数代换，比如 ？嗯...你想， 这种起码消得掉，一消消俩，如果用了正切就会留下 和 这俩没法化简的，不顺手

这个东西可以分解为俩积分的权和

从低次开始研究

2. 的计算

先计算次数比较低的 . 注意到 无法化成初等函数, 而代换法刚才已经用过, 那就对它分部积分, 试图通过求导转化 .

分部后三角函数是二次的，所以可以化成二倍角

令 , , 注意到常数能分离成以 为分母的积分, 通过万能代换即可求出, 这里省略了过程

左侧积分看起来与一个有趣的特殊积分 是近亲，所以我搜索了一下资料，找到了一些资料

xsinx/(1+cos²x)的不定积分怎么求？

求完积分之后我才发现里面有一些现成结论，当时应该看得仔细一点（雾）

左侧积分有一个明显的因子 , 所以我们尝试分部积分一下, 看看是否有好的结构出现

熟悉的味道? 右侧积分看着就是特殊积分 的变体, 似乎叫 函数 (From 《积分的方法与技巧》)

由于两个不同类型的函数复合不方便处理, 回退到上一步. 现在, 分部积分和代换法都用过了, 如何处理这个三角和非三角混合的积分?

想了许久，想起来机器积分结果里出现了一堆复数，想是把 和 用复数展开，在复数域 上处理这个积分.

令 , , 接下来发现作为因子的分数可以有理分解

非常惊喜，可以发现 正好是分子，那么右侧积分可以凑微分进行分部积分：

上面可以因式分解. 因为形式上已经很接近特殊积分了, 这里我们正式引入多对数函数 . 表示n重对数, 特别地, 其中

这样，对于原式右侧积分我们就可以因式分解后凑一凑

其实很超标, 竟然化出来了. 所以我们有:

到这里积分 就被解决了.

3. 的计算

可能有人疑惑为啥一开始不就把 作为一个整体进行分部积分, 而要分成 和 , 其实先用低次的较简单积分试试水，有助于理清思路.

看着有点难受，照猫画虎一通处理掉 .

看到了二次式, 凑一凑二倍角吧（这里偷懒，用软件化的）

有点无计可施，只能复数展开观察情况

顶不住了，实在不想化简，用软件辅助一下，换元 ,

终于有一点可以分解的意思了，观察这个式子, 最显著的特征是 , , , 既然是多项式, 便可以尝试按照这种方法对右侧积分分组，逐个击破.

4. 击破

对于 ，可以用三角换元简单积出

5. 击破

中间的 算是魔王积分，式子比较复杂，况且我们的工具本来也不多，只有有理分解能简化一些计算量.

化掉了一个二次, 还算有些胜利的曙光.

死胡同一例
注意右边的积分式，上面是什么？woc, 这我们做过类似的啊！看原算式我们知道

嘿, 不看不知道, 一看就想笑, 您瞧瞧这不就剩了一个 函数？而且我们知道多重对数积分毕竟有对数俩字, 能处理对数积分的方法自然也能处理多重对数:


(看得我都不想做了)

这里又卡住了很久，想了分部积分的办法，然而积上去虽说可以却无比复杂，不像人干的. 有些灰心，但是用软件处理了一下积分式，发现了一个非常重要的变换：

哥们被干懵了，这还能分...果然还是要养成分解式子的思维直觉（悲）. 所以说一早这样做多好，还弄些七奇八怪的

这个会积了, 是吧? 研究两侧积分的一般形式

那里可以分部积分，对吧

回到原式

为什么要把一个特殊函数丢到右边的积分里? 因为这就是 的定义呀~

( : 你好.)

左边的积分还可以把 拿出来分部积分

那么最终结果即

好感动...终于终结了最难的那个对数积分. 是该计算最后剩下的 了.

6. 击破

吸取处理 的经验，先尝试拆碎这个积分

这里的有理分解得列个方程求, 结果有点丑

（说实话，总觉得这一步神神鬼鬼的）

原积分转化为

可以看到后面两项实际上形式是统一的，所以实质上我们就是在处理以下积分

右边那一项是老朋友了，这里直接给出结果

于是有

至此，所有的积分都已经求完！

到这个时候我已经在桌子前求了大半天的积分。是时候把它们代回到原式了...

7. 代回原式

算力有限，化简是不可能的...

先是 积分的整合

然后是 积分

以及多得可怕的 积分

三个对数积分加起来，乘上系数 ,

要换回三角元咯，还记得 , 麽，原式变成

别忘了分部积分的分部哦，这就是我们最开始次数为 的积分的结果

回过神来，整理一下次数为 积分的结果. 对于最底下那一条

回到三角积分, 即

代回一开始的分部积分（咳，第一版还漏了）

换元， , , 易得原式等于

最开始的积分，是这两个不同次数的积分的权和

换回最后一个元，我们热烈而又忠诚地看到最终表达式的诞生

8. Final Answer

乐~