幂等阵一题：已知 AB，求 BA

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这是一道关于幂等矩阵的题目

题目

已知矩阵 , ，矩阵 为幂等矩阵的倍数，且

求 .

首先观察 的性质，有 . 由于 , , 有 . 此时 为列满秩， 为行满秩。

题目提示 为投影方阵的倍数，求幂得

最开始想构造一个对称式，它在求平方后有类似于幂等的一些良好性质，例如 ，但是最后留下 与 并不能很好的消除

思路转变为，如何找到一个求幂后依然保持自身结构的式子。随即可注意到

在这里，对 的求幂都会转变为 前面的系数，也就是它保持了线性结构，不会产生多余的项。

这时候可以意识到伍德伯里公式了，也即恒等式 ，由于对矩阵求逆可以看作是一种幂的关系，所以不妨尝试猜想 与 具有相同结构。不妨设

取 即可得原式恒成立，即 .

根据恒等式 可得

由于 分别是列满秩、行满秩，则分别存在左逆 与右逆 ，

求逆得到