幂等阵一题：已知 AB，求 BA

这是一道关于幂等矩阵的题目

题目

已知矩阵 $A\in \mathbb{R}^{3\times2}$ , $B\in \mathbb{R}^{2\times3}$ ，矩阵 $AB$ 为幂等矩阵的倍数，且

AB=\begin{bmatrix}8&0&-4\\-\frac{3}{2}&9&-6\\-2&0&1\end{bmatrix}

求 $BA$ .

首先观察 $AB$ 的性质，有 $r(AB)=2$ . 由于 $A\in \mathbb{R}^{3\times2}$ , $B\in \mathbb{R}^{2\times3}$ , 有 $r(A)=r(B)=2$ . 此时 $A$ 为列满秩， $B$ 为行满秩。

题目提示 $AB$ 为投影方阵的倍数，求幂得

\begin{aligned} (AB)^2&=\begin{bmatrix} 72 & 0 & -36 \\ -\frac{27}{2} & 81 & -54 \\ -18 & 0 & 9 \\ \end{bmatrix} \\&=9AB \end{aligned}

最开始想构造一个对称式，它在求平方后有类似于幂等的一些良好性质，例如 $(AB+BA)^2$ ，但是最后留下 $(BA)^2$ 与 $BA$ 并不能很好的消除

思路转变为，如何找到一个求幂后依然保持自身结构的式子。随即可注意到

\begin{aligned} (AB+I)^2&=(AB)^2 +AB+AB+I\\ &=11AB+I \\ (kAB+I)^2&=k^2(AB)^2+2kAB+I\\ &=(9k^2+2k)AB+I \end{aligned}

在这里，对 $AB+I$ 的求幂都会转变为 $AB$ 前面的系数，也就是它保持了线性结构，不会产生多余的项。

这时候可以意识到伍德伯里公式了，也即恒等式 $(I+AB)^{-1}=I-A(I+BA)^{-1}B$ ，由于对矩阵求逆可以看作是一种幂的关系，所以不妨尝试猜想 $(AB+I)^{-1}$ 与 $AB+I$ 具有相同结构。不妨设

\begin{aligned} (AB+I)^{-1}&=kAB+I\\ I&=(kAB+I)(AB+I)\\ &=k(AB)^2+AB+kAB+I\\ &=(10k+1)AB+I \end{aligned}

取 $k=-\frac{1}{10}$ 即可得原式恒成立，即 $-\frac{1}{10}AB+I=(AB+I)^{-1}$ .

根据恒等式 $(I+AB)^{-1}=I-A(I+BA)^{-1}B$ 可得

\begin{aligned} -\frac{1}{10}AB&=-A(I+BA)^{-1}B\\ AB&=10A(I+BA)^{-1}B \end{aligned}

由于 $A$ $B$ 分别是列满秩、行满秩，则分别存在左逆 $A_{L}$ 与右逆 $B_{R}$ ，

\begin{aligned} A_{L}ABB_{R}&=10A_{L}A(I+BA)^{-1}BB_{R}\\ I&=10(I+BA)^{-1} \end{aligned}

求逆得到

\begin{aligned} I+BA&=\left( \frac{1}{10} I\right)^{-1}\\ &=10I\\ BA&=9I \end{aligned}