时滞微分方程解法一例

解微分方程

$$\begin{aligned} f(x)-f(x-1)=f'(x) \end{aligned}$$

平凡解：

$$\begin{aligned} f(x)&=kx+b\\ f(x)-f(x-1)&=f'(x) \end{aligned}$$

对于非平凡解，假定其为振荡周期解

$$\begin{aligned} f(x)&=\mathrm{e}^{ Ax }\cos(Bx+\phi)\\ f'(x)&=A e^{A x} \cos (B x+\phi )-B e^{A x} \sin (B x+\phi )\\ &=-A e^{A x} \sin (\phi ) \sin (B x)+A e^{A x} \cos (\phi ) \cos (B x)\\&\quad\;-B e^{A x} \cos (\phi ) \sin (B x)-B e^{A x} \sin (\phi ) \cos (B x) \end{aligned}$$

再来看左侧，有

$$\begin{aligned} f(x)-f(x-1)&=e^{A x} \cos (B x+\phi )-e^{A (x-1)} \cos (B (x-1)+\phi )\\ &=e^{A (x-1)} \sin (\phi ) \sin (B (x-1))-e^{A x} \sin (\phi ) \sin (B x)\\&\quad\;-e^{A (x-1)} \cos (\phi ) \cos (B (x-1))+e^{A x} \cos (\phi ) \cos (B x)\\ &=-e^{A (x-1)} \cos (B) \cos (Bx) \cos (\phi )-e^{A (x-1)} \sin (B) \sin (Bx) \cos (\phi )\\&\quad\;-e^{A (x-1)} \sin (B) \cos (Bx) \sin (\phi )+e^{A (x-1)} \cos (B) \sin ( Bx) \sin (\phi )\\&\quad\;-e^{A x} \sin ( Bx) \sin (\phi )+e^{A x} \cos ( Bx) \cos (\phi ) \end{aligned}$$

对比上下两式系数，即可得关于 $A$, $B$, $\phi$ 的方程

$$\begin{aligned} R:[\mathrm{e}^{ Ax }\sin Bx]&=-A\sin \phi-B\cos \phi\\ [\mathrm{e}^{ Ax }\cos Bx]&=A\cos \phi-B\sin \phi\\\\ L:[\mathrm{e}^{ Ax }\sin Bx]&=-\mathrm{e}^{ -A }\sin B\cos \phi+\mathrm{e}^{ -A }\cos B\sin \phi-\sin \phi\\ [\mathrm{e}^{ Ax }\cos Bx]&=-\mathrm{e}^{-A}\cos B\cos \phi-\mathrm{e}^{ -A }\sin B\sin \phi+\cos \phi \end{aligned}$$

即，满足以下方程的 $A$, $B$ 构成原式的一组特解：

$$\begin{aligned} \begin{cases} -\mathrm{e}^{ -A }\sin B\cos \phi+\mathrm{e}^{ -A }\cos B\sin \phi-\sin \phi&=-A\sin \phi-B\cos \phi \\ -\mathrm{e}^{-A}\cos B\cos \phi-\mathrm{e}^{ -A }\sin B\sin \phi+\cos \phi&=A\cos \phi-B\sin \phi \end{cases} \end{aligned}$$