常数自动搜索器
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标题...？ 恶臭问题の彻底解决？不仅仅是搜索了20亿次...
I. 一朝凑一式，臭名天下扬
曾经在网上看到过这样一个算式：
日本数学家田所浩二曾经说过，“如果一个人第一次看到这个公式而不感受到它的魅力，那么他不可能成为Homo”。
确实，十分经典而有趣。但由此我们会问出两个问题：
- 这样的算式是怎么构造出来的？
- 这些算式会不会有构造的通法？
- 这些算式会不会有内在的结构，以致于我们可以通过分析这些结构辅助算式的构造？
现在，我们可以开始探索这个问题：如何利用
II. 手工无添加，纯天然制造
23年的时候我写了一篇文章投稿在zhihu上 启发式逼近：寻踪在野兽般的自然常数中
最直观而便捷的方式自然就是手工构造，说白了就是直觉。假定我们的计算器上有这么几个按键
很容易构造一些是是而非的式子，不仅冗长，而且不太优雅，充斥着人工雕琢的痕迹。最重要的一点，这种方法是纯粹的暴力方法，每一次实验都需要“硬凑”。例如：
这个公式有误，但是由于找不到原稿，所以就暂时不换新的了。可以看到，这里各种对数、三角混用，穷形尽相，甚不美观。究其原因，我认为有以下因素造成这种情况：
- 人难以感知嵌套层数较高的计算。加减乘除，多套几层，别说计算，就连修改式子后，分析计算变大还是变小都会很迷糊。
- 人难以感知复杂函数的计算。例如，
这种函数，一眼根本没法看出单调性，函数本身充斥着间断与突变，只能通过不断微调函数内部的数值达成逼近的效果，而此时计算困难又回到了第一条之所述。
怎么办呢？有一个直观的想法，既然我们无法对一个复杂的系统做出有效感知，只需要将这个系统拆成零散的、易理解的部分，分块感知它，就能减少理解难度。
基于这个想法，不难想到，我们列出一些常用的计算式，然后像搭积木一般，把它们搭起来就好了。例如，通过计算我们知道：
看着挺哈人，但是这个表格扩充了我们的“常数工具箱”，让我们在拼凑的时候更得心应手，降低人力成本。诸如
此类。
其实到这里人工基本也已经到头了。当然可以尝试去计算更多的常数，然而随着
III. 科技造狠活，主打一个香
首先要提醒的一点，计算机可不会像人一样写公式！（GPT不在考虑范围内）如果将一个公式直接用文本存到计算机里，想必编写程序处理这串字符也是累死累活。
因此，需要想办法给算式找到一个比较通用的“结构”，按照这个“结构”存储算式后，计算机就可以方便地“按图索骥”：中间这个加号、右边那个乘号......好得很。这个结构，就是树。
回忆我们学过的运算法则，是不是有一些常见规则？例如，先算括号，接着次幂，再次乘除，最后加减。实际上，计算机也是一样的，如果按照这些规则组织算式，不仅符合人的规律，也便于其读取。
观察下式的计算顺序：
首先我们会计算括号里面的内容。不妨令
然后我们要计算平方和乘法。令
如果我们把这些算式按照计算顺序连起来，我们会得到下面这张图：
这就是我们所说的“结构”，也就是树。这种可以被树形式表达出来的表达式叫做中缀表达式，也就是运算符放在两个数字（或上一层的计算结果）中间的算式。观察树的结构，我们还发现：
- 叶子节点（图中绿色，没有箭头指向它的节点）都是数字
- 其它节点都是运算符
- 每个运算符有两个儿子节点（具有这条性质的树称为二叉树）
- 按照计算顺序，这些节点被逐层组织
那么如何让计算机计算一个这样的算式就比较了然了 ，从叶子节点开始逐步向上计算即可。
现在回到我们最关键的问题：如何去用计算机寻找一个合适的算式？最直接的想法，应该是让计算机生成所有可能的算式，然后逐个去计算它们的值，找到其中最接近目标常数的算式。这个过程称之为搜索。不过，我们很快会意识到这个算法的问题所在：要搜索的公式，实在是太多了。
简单做一个计算。假设要搜索的二叉计算树有
由此，所有可能的运算符组合有
种，则整个二叉计算树的可能组合有
种。举例计算，令
种组合可能。这个计算量的复杂度量级已经超越了指数，达到了两层指数塔的增长速率，因此完全搜索所有的可能算式是不太可能的。
一旦确定性算法遇到困难，除了想方设法、绞尽脑汁思考新的算法，我们还有一条出路，就是寻找一个不确定性算法，也就是随机算法，这些算法的效果往往意外地好。实际上随机算法在生活中也时常可见，投点法估计圆的面积就是最简单的随机算法之一。总而言之，确定性算法和随机算法的区别是：
- 确定性算法：在相同输入条件下，总是产生相同的输出。其执行过程是可预测的。
- 随机算法：在相同输入条件下，可能会产生不同的输出。其执行过程包含随机性。
那么，针对这个问题，最简单而朴素的随机算法，也就是，随机分配所有的运算符，以及叶子节点的常数，尝试随机搜索一个结果足够接近目标的算式。