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01A. 数字系统与二进制编码基础与运算

1. 数字信号与数字系统基础​

  • 信号 (Signal): 用于表示和传递信息的物理量。
    • 模拟信号 (Analog Signal): 幅度和频率连续变化的波形。
    • 数字信号 (Digital Signal): 只有 ON (1) 和 OFF (0) 两种状态的离散波形。
  • 比特 (Bit): 二进制数字 (binary digit) 的缩写，是信息的基本单位。
    • 1: 代表高电平 (HIGH) 或真 (TRUE)。
    • 0: 代表低电平 (LOW) 或假 (FALSE)。
  • 逻辑电平 (Logic Levels): 在电路中，用一个电压范围来表示 0 和 1，例如 为低电平， 为高电平。

2. 核心数制及其转换​

数字系统中常用的数制包括十进制 (Decimal, base-10)、二进制 (Binary, base-2)、八进制 (Octal, base-8) 和十六进制 (Hexadecimal, base-16)。

2.1. 任意进制 (Radix-r) 转换为十进制​

核心方法：按权展开求和 (Positional Number System)。 一个具有 位整数和 位小数的 进制数，其值为： 其中 是该数位上的数字， 是基数 (Radix)，小数点左侧第一位是 ，右侧第一位是 。

  • 最高有效位 (Most-Significant Digit, MSD): 最左边的数字。
  • 最低有效位 (Least-Significant Digit, LSD): 最右边的数字。

【用例】 将二进制数 转换为十进制：

2.2. 十进制转换为任意进制 (Radix-r)​

核心方法：整数部分和小数部分分开处理。

  1. 整数部分：除基取余法

    • 将十进制整数反复除以目标基数 。
    • 每次的余数作为新数制的一位，直到商为 0。
    • 注意：将余数从下往上（从最后一次的余数到第一次的余数）排列，即为转换结果（从 MSB 到 LSB）。

  2. 小数部分：乘基取整法

    • 将十进制小数反复乘以目标基数 。
    • 每次的整数部分作为新数制的一位，取剩下的小数部分继续。
    • 注意：将整数从上往下（从第一次的整数到最后一次的整数）排列，即为转换结果（从 MSB 到 LSB）。

【用例】 将十进制数 转换为二进制：

  • 整数部分 (35):

    • (LSB)
    • (MSB)
    • 结果 (从下往上读):

  • 小数部分 (0.375):

    • 整数部分为 0 (MSB)
    • 整数部分为 1
    • 整数部分为 1 (LSB)
    • 结果 (从上往下读):

  • 最终结果:

2.3. 二、八、十六进制间的快速转换​

核心方法：利用 和 的关系进行分组转换。

  • 二进制 八进制:

    • 以小数点为界，整数部分向左、小数部分向右，每 3 位二进制数分为一组，不足 3 位的用 0 补齐。
    • 每组独立转换为一位八进制数。

  • 二进制 十六进制:

    • 以小数点为界，整数部分向左、小数部分向右，每 4 位二进制数分为一组，不足 4 位的用 0 补齐。
    • 每组独立转换为一位十六进制数。

  • 八进制 十六进制:

    • 先转换为二进制作为中间步骤。

【用例】 将 转换为八进制和十六进制：

补零分组八进制结果转换 补零分组十六进制结果转换

3. 二进制运算与补码​

3.1. 二进制加减法​

  • 加法: 与十进制加法类似，逢二进一。
  • 减法: 与十进制减法类似，需要向高位借位。但电路实现复杂。

3.2. 补码 (Complement)​

核心目的：将减法运算转换为加法运算，从而简化计算机硬件设计。

进制类型中文名定义 ( 为数值, 为位数, 为基数)快速求法
二进制(r-1)'s反码 (1's Complement)各位取反 (0 变 1，1 变 0)
r's补码 (2's Complement)反码加一 或 从右向左找到第一个 1，该 1 及其右边不变，左边各位取反
十进制(r-1)'s9's Complement用 个 9 减去原数
r's10's Complement9's Complement 加一

【重点】二的补码 (2's Complement) 求法 对于二进制数 10110000:

  1. 方法一 (反码加一):
    • 反码: 01001111
    • 加一: 01001111 + 1 = 01010000
  2. 方法二 (保留首个 1):
    • 从右向左找到第一个 1: 1011**0000**
    • 该 1 及其右边的位保持不变: ....**0000** (错误，应为 10000)
    • 正确应为：从右向左，遇到的第一个 1 及其右边的所有位保持不变，该 1 左边的所有位取反。
    • 10110000 -> 从右向左第一个 1 在第 5 位。
    • 101 10000 -> 10000 不变，101 取反为 010。
    • 结果: 01010000

3.3. 使用补码进行减法​

核心算法: 补

  • 前提: 和 必须有相同的位数，不足则在高位补 0。
  • 步骤:
    1. 求减数 的补码（通常是 2's complement）。
    2. 被减数 加上 的补码。
    3. 根据结果判断：
      • 如果产生最高位进位 (End Carry)，则舍弃该进位，结果为正。
      • 如果没有最高位进位，则结果为负，其值为对当前结果再次求补码。

【用例】 使用 7 位二进制数和 2's complement 计算 和 ，其中 , 。

  • 计算 ():

    1. 的 2's complement:
      • 的反码: 0111100
      • 的补码: 0111101
    2. 相加: 的补码
    3. 结果：有最高位进位 1，舍弃。结果为正，即 。

  • 计算 ():

    1. 的 2's complement:
      • 的反码: 0101011
      • 的补码: 0101100
    2. 相加: 的补码
    3. 结果：无最高位进位。结果为负，其大小需对 1101111 再次求 2's complement。
      • 1101111 的反码: 0010000
      • 加一: 0010001
    4. 最终结果为 。

4. 带符号二进制数表示法​

为了在二进制中表示正负数，通常将最高有效位 (MSB) 作为符号位：

  • 0: 正数
  • 1: 负数

【重点】三种带符号数表示法的对比 (以 8 位为例)

表示法正数表示 (+X)负数表示 (-X)特点
原码 (Sign-Magnitude)符号位为 0，其余位为数值的绝对值。符号位为 1，其余位为数值的绝对值。- 直观，但加减法规则复杂。
- 有两个 0 的表示 (+0 和 -0)。
反码 (Signed-1's Complement)与原码相同。符号位为 1，其余位为数值绝对值的反码。- 加减法比原码简单。
- 仍有两个 0 的表示 (+0 和 -0)。
补码 (Signed-2's Complement)与原码相同。符号位为 1，其余位为数值绝对值的补码。- 加减法统一，硬件实现最简单。
- 只有一个 0 的表示。
- 表示范围比原码和反码多一个负数。

【用例】 用 8 位二进制表示

  • 正数 : 三种表示法都相同
    • 01101001
  • 负数 :
    • 原码: 11101001 (符号位变 1)
    • 反码: 10010110 (数值位 1101001 取反)
    • 补码: 10010111 (反码 10010110 加 1)

为什么现代计算机普遍使用补码？

特性原码反码补码
加法运算规则复杂规则复杂 (需循环进位)规则统一，可直接相加
0 的表示0000 和 10000000 和 1111唯一 0000
N 位表示范围

5. 其他二进制编码​

5.1. BCD 码 (Binary-Coded Decimal)​

  • 定义: 用 4 位二进制数来表示一位十进制数 (0-9)。也称 8421 码。
  • 特点:
    • 0011 1001 0110 代表十进制数 396。
    • 4 位二进制组合 1010 到 1111 是无效的 BCD 码。
  • BCD 加法:
    1. 按二进制加法规则对位。
    2. 如果任意一组 4 位数的结果大于 9，或者产生了向高一组的进位，则该组需要修正。
    3. 修正方法: 对该组加 6 (即 0110 )。
      • 原因: 二进制加法是逢 16 进位，而 BCD 码需要逢 10 进位，加 6 是为了跳过 6 个无效状态，从而实现正确的进位。

【用例】 计算 的 BCD 码

二进制和修正有进位加修正最终结果

5.2. 格雷码 (Gray Code)​

  • 特点: 相邻两个数值之间只有一位二进制数不同。
  • 应用: 减少数据转换过程中的瞬时错误、低功耗设计、模拟数据编码。

5.3. ASCII 码​

  • 全称: American Standard Code for Information Interchange (美国信息交换标准代码)。
  • 用途: 用一个唯一的二进制数（通常是 7 位）表示数字、字母、标点符号和控制字符，共 128 个。

5.4. 奇偶校验码 (Error-Detecting Code)​

  • 目的: 检测数据在传输或存储过程中是否发生错误。
  • 方法: 在原始数据上附加一位校验位 (Parity Bit)。
    • 偶校验 (Even Parity): 附加一位，使得整个编码中 1 的个数为偶数。
    • 奇校验 (Odd Parity): 附加一位，使得整个编码中 1 的个数为奇数。
  • 局限性: 只能检测出奇数个位的错误，无法检测出偶数个位的错误，也无法纠正错误。

6. 二进制逻辑入门​

  • 定义: 处理只有两个值（0和1）的变量的逻辑体系。
  • 基本逻辑运算:
运算符号描述逻辑门真值表 (A, B 为输入, Y 为输出)
与 (AND) 或 省略所有输入为 1，输出才为 1与门A=0, B=0, Y=0
A=0, B=1, Y=0
A=1, B=0, Y=0
A=1, B=1, Y=1
或 (OR)任一输入为 1，输出就为 1或门A=0, B=0, Y=0
A=0, B=1, Y=1
A=1, B=0, Y=1
A=1, B=1, Y=1
非 (NOT) 或 输入与输出相反非门A=0, Y=1
A=1, Y=0